二之三续、Dijkstra 算法+Heap堆的完整c实现源码

二之三续、Dijkstra 算法+Heap堆的完整c实现源码

作者:JULY、二零一一年三月十八日
出处：http://blog.csdn.net/v_JULY_v。
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引言：
此文的写作目的很简单，就一个理由，个人认为：上一篇文章，二之再续、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c实现，写的不够好，特此再写Dijkstra 算法的一个续集，谓之二之三续。
鉴于读者理解斐波那契堆的难度，本文，以简单的最小堆为示例。同时，本程序也有参考网友的实现。有任何问题，欢迎指正。

Dijkstra 算法+Heap堆完整算法思想
在前一篇文章中，我们已经了解到，Dijkstra 算法如下：

DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) //1、初始化结点工作
2 S ← Ø
3 Q ← V[G] //2、初始化队列
4 while Q ≠ Ø
5 do u ← EXTRACT-MIN(Q) //3、从最小队列中，抽取最小结点(在此之前，先建立最小堆)
6 S ← S ∪{u}
7 for each vertex v ∈ Adj[u]
8 do RELAX(u, v, w) //4、松弛操作。

如此，咱们不再赘述，直接即可轻松编写如下c/c++源码：

void dijkstra(ALGraph G,int s,int d[],int pi[],int Q[])
{//Q[]是最小优先队列，Q[1..n]中存放的是图顶点标号,Q[0]中存放堆的大小
//优先队列中有key的概念，这里key可以从d[]中取得。比如说，Q[2]的大小(key)为 d[ Q[2] ]

initSingleSource(G,s,d,pi); //1、初始化结点工作

//2、初始化队列
Q[0] = G.vexnum;
for(int i=1;i<=Q[0];i++)

{
Q[i] = i-1;
}
Q[1] = s;
Q[s+1] = 0;

int u;
int v;
while(Q[0]!=0)

{
buildMinHeap(Q,d); //3.1、建立最小堆
u = extractMin(Q,d); //3.2、从最小队列中，抽取最小结点
ArcNode* arcNodePt = G.vertices[u].firstarc;
while(arcNodePt!=NULL)
{
v = arcNodePt->adjvex;
relax(u,v,G,d,pi); //4、松弛操作。
arcNodePt = arcNodePt->nextarc;
}
}

}

ok，接下来，咱们一步一步编写代码来实现此Dijkstra 算法，先给出第1、初始化结点工作，和4、松弛操作俩个操作的源码：

void initSingleSource(ALGraph G,int s,int d[],int pi[])
{ //1、初始化结点工作
for(int i=0;i<G.vexnum;i++)

{
d[i] = INFINITY;
pi[i] = NIL;
}
d[s] = 0;
}

void relax(int u,int v,ALGraph G,int d[],int pi[])
{//4、松弛操作。
//u是新加入集合S的顶点的标号
if(d[v]>d[u]+getEdgeWeight(G,u,v))

{
d[v] = d[u] + getEdgeWeight(G,u,v);
pi[v] = u;
}
}

ok，接下来，咱们具体阐述第3个操作，3、从最小队列中，抽取最小结点(在此之前，先建立最小堆)。

Heap最小堆的建立与抽取最小结点
在我的这篇文章二、堆排序算法里头，对最大堆的建立有所阐述：
2.3.1、建堆(O（N）)

BUILD-MAX-HEAP(A)
1 heap-size[A] ← length[A]
2 for i ← |_length[A]/2_| downto 1
3 do MAX-HEAPIFY(A, i)
//建堆，怎么建列?原来就是不断的调用MAX-HEAPIFY(A, i)来建立最大堆。

建最小堆，也是一回事，把上述代码改俩处即可，一，MAX->MIN，二，MAX-HEAPIFY(A, i)->MIN-HEAPIFY(A, i)。如此说来，是不是很简单列，是的，本身就很简单。

先是建立最小堆的工作：

void buildMinHeap(int Q[],int d[]) //建立最小堆
{
for(int i=Q[0]/2;i>=1;i--)
{
minHeapify(Q,d,i); //调用minHeapify，以保持堆的性质。
}
}

然后，得编写minHeapify代码，来保持最小堆的性质：

void minHeapify(int Q[],int d[],int i)
{//smallest,l,r,i都是优先队列元素的下标，范围是从1 ~ heap-size[Q]
int l = 2*i;
int r = 2*i+1;
int smallest;
if(l<=Q[0] && d[ Q[l] ] < d[ Q[i] ])

{
smallest = l;
}
else
{
smallest = i;
}
if(r<=Q[0] && d[ Q[r] ] < d[ Q[smallest] ])

{
smallest = r;
}
if(smallest!=i)
{
int temp = Q[i];
Q[i] = Q[smallest];
Q[smallest] = temp;

minHeapify(Q,d,smallest);
}
}

你自个比较一下建立最小堆，与建立最大堆的代码，立马看见，如出一辙，不过是改几个字母而已：

MAX-HEAPIFY(A, i) //建立最大堆的代码
1 l ← LEFT(i)
2 r ← RIGHT(i)
3 if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
4 then largest ← l
5 else largest ← i
6 if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
7 then largest ← r
8 if largest ≠ i
9 then exchange A[i] <-> A[largest]
10 MAX-HEAPIFY(A, largest)

ok，最后，便是3、从最小队列中，抽取最小结点的工作了，如下：

int extractMin(int Q[],int d[]) //3、从最小队列中，抽取最小结点
{//摘取优先队列中最小元素的内容，这里返回图中顶点的标号(0 ~ G.vexnum-1)，
//这些标号是保存在Q[1..n]中的
if(Q[0]<1)
{
cout<<"heap underflow!"<<endl;
return -10000;
}
int min = Q[1];
Q[1] = Q[Q[0]];
Q[0] = Q[0] - 1;
minHeapify(Q,d,1);
return min;
}

ALGraph图的建立
先定义几个宏，

#define MAX_VERTEX_NUM 20//图中最大的节点数目
#define INFINITY 10000
#define NIL -1

再建立几个数据结构：

typedef struct ArcNode //弧节点，就是邻接链表的表节点
{
int adjvex; //该弧所指向尾节点的位置，其实保存的就是数组的下标
ArcNode *nextarc; //指向下一条弧的指针
int weight; //权重。
}ArcNode;

typedef struct VNode
{
ArcNode* firstarc;
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct
{
AdjList vertices;
int vexnum,arcnum;
}ALGraph;

编写几个功能函数：

void initALGraph(ALGraph* GPt,int vn) //初始化结点
{
GPt->arcnum = 0;
GPt->vexnum = vn;
for(int i=0;i<vn;i++)

{
GPt->vertices[i].firstarc = NULL;
}
}

void insertArc(ALGraph* GPt,int vhead,int vtail,int w) //增加结点操作
{
ArcNode* arcNodePt = new ArcNode;
arcNodePt->nextarc = NULL;
arcNodePt->adjvex = vtail;
arcNodePt->weight = w;

ArcNode* tailPt = GPt->vertices[vhead].firstarc;
if(tailPt==NULL)
{
GPt->vertices[vhead].firstarc = arcNodePt;
}
else
{
while(tailPt->nextarc!=NULL)
{
tailPt = tailPt->nextarc;
}
tailPt->nextarc = arcNodePt;
}
GPt->arcnum ++;
}

void displayGraph(ALGraph G) //打印结点
{
ArcNode* arcNodePt;
for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
{
arcNodePt = G.vertices[i].firstarc;
cout<<"vertex"<<i<<": ";
while(arcNodePt!=NULL)
{
cout<<arcNodePt->adjvex<<"("<<"weight"<<arcNodePt->weight<<")"<<" ";
arcNodePt = arcNodePt->nextarc;
}
cout<<endl;
}
}

int getEdgeWeight(ALGraph G,int vhead,int vtail) //求边的权重
{
ArcNode* arcNodePt = G.vertices[vhead].firstarc;
while(arcNodePt!=NULL)
{
if(arcNodePt->adjvex==vtail)
{
return arcNodePt->weight;
}
arcNodePt = arcNodePt->nextarc;
}
return INFINITY;
}

主函数测试用例
最后，便是编写主函数测试本程序：

int main(){

ALGraph G;
ALGraph* GPt = &G;
initALGraph(GPt,5);

insertArc(GPt,0,1,10);
insertArc(GPt,0,3,5);
insertArc(GPt,1,2,1);
insertArc(GPt,1,3,2);
insertArc(GPt,2,4,4);
insertArc(GPt,3,1,3);
insertArc(GPt,3,2,9);
insertArc(GPt,3,4,2);
insertArc(GPt,4,2,4);
insertArc(GPt,4,0,7);

cout<<"显示出此构造的图:"<<endl;
displayGraph(G);
cout<<endl;

int d[MAX_VERTEX_NUM];
int pi[MAX_VERTEX_NUM];
int Q[MAX_VERTEX_NUM+1];
//Q[]的第一个元素只保存堆的大小，不保存元素。所以定义长度时+1

dijkstra(G,0,d,pi,Q);

for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
{
cout<<"从源点0到点"<<i<<"的最短路径信息:"<<endl;
cout<<"长度为"<<d[i]<<endl;
cout<<"路径为";
printRoute(i,pi);
cout<<endl;
if(i==G.vexnum-1)
{
cout<<endl;
}
}
return 0;
}

最后的运行结果，如下所示：

全文，到此完。

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